基于改善解集分布性的多目标优化

doi:10.12141/j.issn.1000-565X.220668

华南理工大学学报(自然科学版) ›› 2023, Vol. 51 ›› Issue (8): 137-148.doi: 10.12141/j.issn.1000-565X.220668

所属专题： 2023年电子、通信与自动控制

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基于改善解集分布性的多目标优化

王学武方俊宇高进顾幸生

华东理工大学能源化工过程智能制造教育部重点实验室，上海 200237

收稿日期:2022-10-18 出版日期:2023-08-25 发布日期:2023-03-07
通信作者: 王学武（1972-），男，博士，副教授，主要从事智能优化算法、焊接机器人智能化技术、焊接自动化、系统建模、控制与优化研究。 E-mail:wangxuew@ecust.edu.cn
作者简介:王学武（1972-），男，博士，副教授，主要从事智能优化算法、焊接机器人智能化技术、焊接自动化、系统建模、控制与优化研究。
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(62076095)

Multi-Objective Optimization Based on Improved Distribution of Solutions

WANG Xuewu FANG Junyu GAO Jin GU Xingsheng

Key Laboratory of Smart Manufacturing in Energy Chemical Process of the Ministry of Education，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237，China

Received:2022-10-18 Online:2023-08-25 Published:2023-03-07
Contact: 王学武（1972-），男，博士，副教授，主要从事智能优化算法、焊接机器人智能化技术、焊接自动化、系统建模、控制与优化研究。 E-mail:wangxuew@ecust.edu.cn
About author:王学武（1972-），男，博士，副教授，主要从事智能优化算法、焊接机器人智能化技术、焊接自动化、系统建模、控制与优化研究。
Supported by:
the National Natural Science Foundation of China(62076095)

摘要/Abstract

摘要：

针对低维度多目标优化问题，目前的众多多目标优化算法已能保证足够接近问题的最优前沿，并兼顾解集的收敛性和多样性。然而，大多数算法往往忽略了解的分布性。在具有不规则帕累托前沿的多目标优化问题上，解的分布越均匀，越能充分覆盖问题的最优前沿超平面，提供给决策者的选择区间也越趋于合理。文中针对解的分布性的改善问题，以SPEA2算法为主框架，在改进个体适应度计算的基础上，提出一种新的多目标优化算法CM-SPEA2。该算法首先通过不等权重层次聚类法将种群划分为若干簇；然后改进原有杂乱度计算方法，衡量个体在所属簇内的杂乱度，寻找杂乱度最低的个体作为参考点；最后，基于其他个体与参考点的Manhattan距离计算表征分布性的算子并改进适应度函数，设置适应度阈值筛选参考点附近的非支配个体，从而间接调整环境选择策略，使保留的个体分布更加均匀，进而提升收敛性和多样性。对比实验结果表明，与一些类似的多目标优化算法相比，CM-SPEA2算法在IMOP、ZDT和VNT类型的测试问题上具有一定的优势。

关键词: 多目标优化, 杂乱度, SPEA2算法, 层次聚类

Abstract:

For low-dimensional multi-objective optimization problems, the existing multi-objective optimization algorithms have been able to ensure the proximity to the optimal front of the problem, and balance the convergence and the diversity of solution sets. However, the uniformity of the solution is ignored in most algorithms. In the multi-objective optimization problem with irregular Pareto front, the more uniform the distribution of solution is, the more the solution can reflect the true distribution of the optimal front of the problem, and the more reasonable the choices provided to decision makers. To improve the uniform distribution of solutions, a new multi-objective optimization algorithm CM-SPEA2 is proposed based on SPEA2 algorithm and the improved individual fitness calculation. In this algorithm, firstly, the initial population is divided into different clusters by means of hierarchical clustering. Next, the original calculation method of messy degree is improved to measure the messy degree of individuals in their clusters, and the individuals with the lowest messy degree are selected as reference points. Then, based on the Manhattan distance between other individuals and the reference point, the operator representing distribution is calculated and the fitness function is improved. Finally, the fitness threshold is set to screen non-dominated individuals near the reference point, so as to indirectly adjust the environmental selection strategy, make the distribution of retained individuals more uniform, thus improving the convergence and diversity. As compared with some similar multi-objective optimization algorithms, the proposed CM-SPEA2 algorithm has certain advantages in solving IMOP, ZDT and VNT test problems.

Key words: multi-objective optimization, messy degree, SPEA2 algorithm, hierarchical clustering

中图分类号:

TP301

王学武, 方俊宇, 高进, 等. 基于改善解集分布性的多目标优化[J]. 华南理工大学学报(自然科学版), 2023, 51(8): 137-148.

WANG Xuewu, FANG Junyu, GAO Jin, et al. Multi-Objective Optimization Based on Improved Distribution of Solutions[J]. Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition), 2023, 51(8): 137-148.

图/表 12

图1

图2

图3

表1

不同算法在不同MOP下的IGD指标对比1）"

测试问题

目标数

数值类型

不同算法的IGD指标

CM-SPEA2

SPEA2

NSGAⅡ

CAMOEA

RVEAa

IMOP1

均值

标准差

6.374 5×10^-3

1.02×10^-3

5.109 4×10^-3

3.14×10^-4+

5.919 8×10^-3

3.17×10^-4=

5.976 2×10^-3

6.61×10^-4=

1.005 5×10^-1

8.51×10^-3‒

IMOP2

均值

标准差

4.708 4×10^-3

2.18×10^-4

4.464 6×10^-3

5.24×10^-5+

5.177 6×10^-3

2.56×10^-4‒

5.177 6×10^-3

2.56×10^-4‒

5.698 0×10^-3

2.98×10^-3‒

IMOP3

均值

标准差

3.365 8×10^-3

3.77×10^-5

3.504 2×10^-3

5.06×10^-5‒

3.993 2×10^-3

1.07×10^-4‒

3.659 2×10^-3

8.54×10^-5‒

2.753 7×10^-2

5.20×10^-2‒

IMOP4

均值

标准差

6.677 1×10^-3

7.41×10^-5

6.945 9×10^-3

1.63×10^-4‒

8.665 5×10^-3

4.65×10^-4‒

7.618 3×10^-3

2.01×10^-4‒

1.392 5×10^-2

2.07×10^-3‒

IMOP5

均值

标准差

3.245 7×10^-2

4.41×10^-4

3.286 0×10^-2

5.09×10^-4‒

4.620 5×10^-2

2.97×10^-3‒

3.391 9×10^-2

8.73×10^-4‒

3.370 4×10^-2

1.09×10^-3‒

IMOP6

均值

标准差

1.163 8×10^-1

1.97×10^-1

1.165 5×10^-1

1.97×10^-1=

5.082 1×10^-2

5.27×10^-3+

3.150 0×10^-2

5.85×10^-4+

9.782 5×10^-2

1.56×10^-1+

IMOP7

均值

标准差

3.638 3×10^-2

6.28×10^-4

5.552 1×10^-2

1.10×10^-1‒

4.696 9×10^-2

3.32×10^-3‒

3.716 1×10^-2

9.84×10^-4‒

1.137 6×10^-1

2.01×10^-1=

IMOP8

均值

标准差

1.264 1×10^-1

1.48×10^-1

1.108 6×10^-1

1.14×10^-1+

1.069 4×10^-1

5.24×10^-3+

8.541 8×10^-2

3.68×10^-3+

1.528 0×10^-1

1.73×10^-1‒

ZDT1

均值

标准差

3.626 7×10^-3

3.63×10^-5

3.789 8×10^-3

6.41×10^-5‒

4.544 8×10^-3

1.39×10^-4‒

4.268 9×10^-3

9.29×10^-5‒

4.152 7×10^-3

1.64×10^-4‒

ZDT2

均值

标准差

3.724 6×10^-3

3.40×10^-5

3.741 2×10^-3

4.25×10^-5=

4.601 9×10^-3

1.36×10^-4‒

4.216 3×10^-3

1.01×10^-4‒

3.866 5×10^-1

2.96×10^-1‒

ZDT3

均值

标准差

4.392 0×10^-3

6.14×10^-5

5.641 3×10^-3

5.36×10^-3‒

6.121 1×10^-3

5.34×10^-3‒

5.840 0×10^-3

5.37×10^-3‒

8.335 1×10^-3

7.52×10^-3‒

ZDT4

均值

标准差

5.219 3×10^-3

2.03×10^-3

4.429 5×10^-3

2.75×10^-4=

5.503 7×10^-3

1.05×10^-3‒

4.923 6×10^-3

7.29×10^-4=

7.398 6×10^-3

6.52×10^-3‒

ZDT6

均值

标准差

2.944 2×10^-3

5.44×10^-5

3.006 2×10^-3

8.76×10^-5‒

3.520 6×10^-3

1.13×10^-4‒

3.352 8×10^-3

9.36×10^-5‒

3.100 8×10^-3

1.32×10^-4‒

表1

表2

不同算法在不同MOP下的Spacing指标对比"

测试问题

目标数

数值类型

不同算法的Spacing指标

CM-SPEA2

SPEA2

NSGAⅡ

CAMOEA

RVEAa

IMOP1

均值

标准差

3.274 1×10^-3

5.97×10^-4

3.321 5×10^-3

2.87×10^-4=

6.458 5×10^-3

5.30×10^-4‒

4.857 6×10^-3

6.15×10^-4‒

5.087 2×10^-2

7.18×10^-3‒

IMOP2

均值

标准差

4.138 2×10^-3

1.32×10^-3

3.734 1×10^-3

4.54×10^-4=

7.021 5×10^-3

8.08×10^-4‒

6.533 4×10^-3

1.23×10^-3‒

6.438 7×10^-3

1.56×10^-3‒

IMOP3

均值

标准差

2.252 1×10^-3

2.36×10^-4

2.813 2×10^-3

3.36×10^-4‒

5.647 3×10^-3

5.21×10^-4‒

4.419 5×10^-3

4.32×10^-4‒

1.109 2×10^-2

1.80×10^-3‒

IMOP4

均值

标准差

5.790 1×10^-3

5.57×10^-4

6.918 7×10^-3

1.29×10^-3‒

1.458 8×10^-2

1.32×10^-3‒

1.083 5×10^-2

9.90×10^-4‒

1.911 6×10^-2

4.30×10^-3‒

IMOP5

均值

标准差

1.359 8×10^-2

1.53×10^-3

1.535 8×10^-2

1.66×10^-3‒

4.005 5×10^-2

3.95×10^-3‒

3.014 1×10^-2

2.05×10^-3‒

2.997 1×10^-2

3.02×10^-3‒

IMOP6

均值

标准差

1.363 0×10^-2

5.21×10^-3

1.492 4×10^-2

5.84×10^-3‒

5.177 4×10^-2

7.60×10^-3‒

3.203 4×10^-2

1.82×10^-3‒

2.993 5×10^-2

9.03×10^-3‒

IMOP7

均值

标准差

1.701 3×10^-2

2.26×10^-3

1.808 3×10^-2

3.82×10^-3‒

4.246 9×10^-2

6.53×10^-3‒

2.968 4×10^-2

2.39×10^-3‒

2.227 5×10^-2

8.51×10^-3‒

IMOP8

均值

标准差

2.809 7×10^-2

9.27×10^-3

3.555 3×10^-2

9.20×10^-3‒

8.408 6×10^-2

7.84×10^-3‒

6.620 7×10^-2

6.41×10^-3‒

5.826 1×10^-2

2.03×10^-2‒

ZDT1

均值

标准差

2.636 3×10^-3

2.74×10^-4

3.121 9×10^-3

3.12×10^-4‒

6.549 2×10^-3

5.36×10^-4‒

5.160 0×10^-3

3.90×10^-4‒

1.252 0×10^-2

1.43×10^-3‒

ZDT2

均值

标准差

2.370 1×10^-3

2.54×10^-4

3.102 7×10^-3

3.56×10^-4‒

6.869 0×10^-3

6.22×10^-4‒

5.138 2×10^-3

4.46×10^-4‒

3.536 5×10^-3

3.43×10^-4‒

ZDT3

均值

标准差

3.170 5×10^-3

4.16×10^-4

3.808 2×10^-3

4.32×10^-4‒

7.464 9×10^-3

8.15×10^-4‒

5.560 7×10^-3

5.16×10^-4‒

1.329 0×10^-2

1.36×10^-3‒

ZDT4

均值

标准差

2.504 6×10^-3

4.87×10^-4

2.728 6×10^-3

3.39×10^-4‒

6.985 7×10^-3

5.81×10^-4‒

5.100 7×10^-3

5.76×10^-4‒

1.313 3×10^-2

1.37×10^-3‒

ZDT6

均值

标准差

1.891 8×10^-3

1.80×10^-4

5.604 1×10^-3

1.85×10^-2‒

5.706 7×10^-3

5.17×10^-4‒

4.158 5×10^-3

3.99×10^-4‒

2.312 7×10^-3

2.28×10^-4‒

VNT1

均值

标准差

5.834 5×10^-2

9.33×10^-3

6.365 0×10^-2

5.72×10^-3‒

1.383 4×10^-1

1.47×10^-2‒

1.082 0×10^-1

7.05×10^-3‒

1.216 5×10^-1

1.88×10^-2‒

VNT2

均值

标准差

8.735 3×10^-3

1.12×10^-3

7.623 8×10^-3

8.57×10^-4+

1.852 2×10^-2

3.02×10^-3‒

1.202 6×10^-2

1.24×10^-3‒

5.807 9×10^-2

1.98×10^-2‒

VNT3

均值

标准差

1.942 8×10^-2

2.42×10^-3

2.138 2×10^-2

1.68×10^-3‒

6.546 6×10^-2

4.61×10^-3‒

5.745 5×10^-2

5.30×10^-3‒

8.644 2×10^-2

1.69×10^-2‒

+/‒/=数值

1/13/2

0/16/0

表2

图4

表3

图5

图6

图7

图8

参考文献 20

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测试问题	目标数	IGD指标		Spacing指标
测试问题	目标数	策略1	策略2	策略1	策略2
+/‒/=数值			1/2/13		2/9/5
IMOP1	2	6.334 2×10^-3	6.231 3×10^-3=	3.006 1×10^-3	3.282 4×10^-3‒
IMOP2	2	4.896 0×10^-3	4.727 7×10^-3=	4.905 4×10^-3	4.828 8×10^-1=
IMOP3	2	4.541 2×10^-3	3.369 0×10^-3+	2.215 8×10^-3	2.227 5×10^-3‒
IMOP4	3	6.704 0×10^-3	6.723 5×10^-3=	6.014 3×10^-3	6.040 2×10^-3=
IMOP5	3	3.244 5×10^-2	3.254 3×10^-2=	1.370 7×10^-2	1.385 1×10^-2‒
IMOP6	3	1.510 4×10^-1	1.685 2×10^-1=	1.239 7×10^-2	1.132 1×10^-2=
IMOP7	3	5.648 7×10^-2	7.650 2×10^-2=	1.600 7×10^-2	1.603 0×10^-2=
IMOP8	3	1.096 1×10^-1	1.400 5×10^-1=	2.744 5×10^-2	2.763 6×10^-2‒
ZDT1	2	3.622 9×10^-3	3.631 1×10^-3=	2.589 1×10^-3	2.561 9×10^-3+
ZDT2	2	3.731 9×10^-3	3.729 2×10^-3=	2.451 7×10^-3	2.500 3×10^-3‒
ZDT3	2	5.390 0×10^-3	7.345 4×10^-3‒	3.168 4×10^-3	3.798 4×10^-3
ZDT4	2	4.644 3×10^-3	4.834 7×10^-3=	2.403 1×10^-3	2.520 9×10^-3‒
ZDT6	2	2.950 7×10^-3	2.958 9×10^-3=	2.055 8×10^-3	1.960 9×10^-3=
VNT1	3	1.209 4×10^-1	1.220 6×10^-1‒	5.623 4×10^-3	6.001 8×10^-3‒
VNT2	3	1.199 2×10^-2	1.205 7×10^-2=	8.837 2×10^-3	8.652 7×10^-3+
VNT3	3	2.941 6×10^-2	2.916 4×10^-2=	1.927 2×10^-2	1.902 9×10^-2=

[1]	李树勋, 胡迎港, 李成, 等. 基于代理模型的轴流式调节阀阀体型线优化[J]. 华南理工大学学报(自然科学版), 2023, 51(3): 41-52.
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基于改善解集分布性的多目标优化

Multi-Objective Optimization Based on Improved Distribution of Solutions

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测试问题	目标数	数值类型	不同算法的IGD指标
测试问题	目标数	数值类型	CM-SPEA2	SPEA2	NSGAⅡ	CAMOEA	RVEAa
VNT1	3	均值标准差	1.213 4×10^-1 2.23×10^-3	1.238 2×10^-1 2.60×10^-3‒	1.527 6×10^-1 5.99×10^-3‒	1.296 9×10^-1 3.64×10^-3‒	1.376 0×10^-1 4.79×10^-3‒
VNT2	3	均值标准差	1.214 3×10^-2 4.11×10^-4	1.240 3×10^-2 4.15×10^-4‒	2.141 7×10^-2 1.62×10^-3‒	1.277 5×10^-2 4.24×10^-4‒	3.111 1×10^-2 7.72×10^-3‒
VNT3	3	均值标准差	2.908 8×10^-2 1.44×10^-3	3.072 5×10^-2 1.73×10^-3‒	3.965 1×10^-2 1.88×10^-3‒	3.298 0×10^-2 1.37×10^-3‒	2.793 3×10^-1 5.50×10^-1‒
+/‒/=数值			3/10/3	2/13/1	2/12/2	1/14/1	+/‒/=数值